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2019年广西柳州市中考数学总复*《压轴题(一)》练*(含答案)

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限时训练(二十) [压轴题(一)]
1.(10 分)如图 Y1-1,在*面直角坐标系 xOy 中,直线 y=x+4 与坐标轴分别交于 A,B 两点,过 A,B 两点的抛物线为 y=-x2+bx+c.点 D 为线段 AB 上一动点,过点 D 作 CD⊥x 轴于点 C,交抛物线于点 E. (1)求抛物线的解析式; (2)当 DE=4 时,求四边形 CAEB 的面积; (3)连接 BE,是否存在点 D,使得△DBE 和△DAC 相似?若存在,直接写出点 D 坐标;若不存在,说明理由.
图 Y1-1 2.(10 分)如图 Y1-2,在*面直角坐标系 xOy 中,点 O 为坐标原点,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A - ,0 ,B(2,0), 与 y 轴交于点 C,以 O 为圆心,半径为 1 的☉O 恰好经过点 C,与 x 轴的正半轴交于点 D. (1)求抛物线的函数表达式; (2)抛物线的对称轴交 x 轴于点 E,连接 CE,并延长 CE 交☉O 于点 F, 求 EF 的长; (3)设点 P(m,n)为☉O 上的任意一点,当 的值最大时,求此时直线 BP 的函数表达式.
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图 Y1-2

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参考答案

1 .解:(1)在直线解析式 y=x+4 中,令 x=0,得 y=4;令 y=0,得 x=-4,

∴A(-4,0),B(0,4).

∵点 A(-4,0),B(0,4)在抛物线 y=-x 2+bx+c 上,

∴- -

解得 - ∴抛物线的解析式为 y=-x2-3x+4.

(2)设点 C 的坐标为(m,0)(m<0),则 OC=-m,AC=4+m.∵OA=OB=4,∴∠BAC=45°,∴△ACD 为等腰直角三角 形,∴CD=AC=4+m,∴CE=CD+DE=4+ m+4=8+m,∴点 E 的坐标为(m,8+m). ∵点 E 在抛物线 y=-x2-3x+4 上,∴8+m=-m2-3m+4,解得 m1=m2=-2. ∴C(-2,0),AC=OC=2,CE=6,

S 四边形 CAEB=S△ACE+S 梯形 OCEB-S△BCO= ×2×6+ (6+4)×2- ×2×4=12. (3)设点 C 的坐标为(m,0)(m<0), 则 OC=-m,CD=AC=4+m, BD= OC=- m,则 D(m,4+m). ∵△ACD 为等腰直角三角形,△DBE 和△DAC 相似, ∴△DBE 必为等腰直角三角形. i)若∠BED=90°,则 BE=DE, ∵BE=O C=-m,∴DE=BE=-m, ∴CE=4+m-m=4,∴E(m,4). ∵点 E 在抛物线 y=-x2-3x+4 上, ∴4=-m2-3m+4,解得 m=0(不合题意,舍去)或 m=-3, ∴D(-3,1); ii)若∠EBD=90°,则 BE=BD=- m,

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在等腰直角三角形 EBD 中,DE= BD=-2m, ∴CE=4+m-2m=4-m, ∴E(m,4-m). ∵点 E 在抛物线 y=-x2-3x+4 上, ∴4-m=-m2-3m+4, 解得 m=0(不合题意,舍去)或 m=-2, ∴D(-2,2). 综上所述,存在点 D,使得△DBE 和△DAC 相似,点 D 的坐标为(-3,1)或(-2,2).
2.解:(1)由题意知点 C(0,1),将 A - ,0 ,B(2,0),C(0,1)分别代入得
解得

∴抛物线的函数表达式为 y=-x2+ x+1. (2)抛物线的对称轴为直线 x= ,

∴E 点 ,0 ,∴CE=

=.

设☉O 与 y 轴的负半轴交于点 G,

连接 FG,则∠CFG=90°=∠CO E.

又∵∠OCE 是公共角,∴△CEO∽ △CGF,

∴ = ,∴CF= ,∴EF= - = .

(3)如图,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 H,

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则 BH=2-m,PH= . 在 Rt△PHB 中,tanB= .
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因为 tanB 随∠B 的增大而增大, 所以当 的值最大时,
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∠B 的值最大,此时,直线与☉O 相切,切点为点 P,切线与 y 轴交于点 M, 连接 OP,在 Rt△OPB 中,sinB= = , 所以∠B=30°. 在 Rt△OMB 中,易得 OM= , ∴M 0, . 用待定系数法求得直线 BP 的函数表达式 为 y=- x+ ;同理可求得当点 P 在 x 轴下方时直线 BP 的函数表达 式为 y= x-
.



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